Доказать, что число a=n^4+2n^3-n^2-2n делится на 24 при любом n ∈ N (n>1)

N⁴ + 2n³ - n² - 2n = n (n³ + 2n² - n - 2) = n[n² (n + 2) - (n + 2) ] =

= n (n² - 1) (n + 2) = n (n - 1) (n + 1) (n + 2) = (n - 1) n (n + 1) (n + 2)

Т. к. n > 1, то данное произведение будет положительным.

Мы видим, что произведение представлено в виде четырёх последовательных натуральных чисел.

Среди 4 последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 4, поэтому произведение обязательно делится на 4.

Среди 3 последовательных натуральных одно обязательно делится на 3, поэтому произведение делится и на 3.

Среди двух последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 2.

Значит, среди чисел одно делится обязательно на 4, одно на 3 и какое-то ещё на 2 (это число не будет делиться на 4).

Значит, всё произведение делится на 2·3·4 = 24, что и требовалось доказать.