Есть 200 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое любых 7 из них - целое. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?

Если a, b, a₁, ..., a₆ произвольные 8 чисел из этих 200, то

а+а₁ + ... + а₆=7n и b+а₁ + ... + а₆=7k при некоторых натуральных n, k. Тогда а-b=7 (n-k), т. е. разность между двумя любыми а и b делится на 7. Т. е. наименьший возможный вариант максимального элемента будет, когда последовательность начинается с 1 и разность между соседними равна 7, т. е эти 200 чисел: 1, 8, 15, ..., 200*7-6. Итак, ответ: 1394.