X^4 + y^4 при х + у = 6. ху = - 3

Будем выделять полные квадраты с помощью формулы квадрата суммы

(a + b) ² = a² + 2ab + b²

x^4 + y^4 = (x²) ² + (y²) ² + 2x²y² - 2x²y² = (x² + y²) ² - 2x²y² = (x² + y²) ² - 2 (ху) ²

аналогично, х² + у² = (х + у) ² - 2 ху

Тогда исходное выражение примет вид:

x^4 + y^4 = ((х + у) ² - 2 ху) ² - 2 (xy) ²

Подставим вместо х + у число 6, а вместо ху число - 3 и вычислим:

((6² - 2· (-3)) ² - 2· (-3) ² = ((36 + 6) ² - 2·9 = 42² - 18 = 1764 - 18 = 1746

{x+y=6⇒x=6-y

{xy=-3

(6-y) * y=-3

y²-6y-3=0

D=36+12=48

√D=4√3

y1 = (6-4√3) / 2=3-2√3⇒x1=6-3+2√3=3+2√3

y2=3+2√3⇒x2=6-3-2√3=3-2√3

(x1) ^4=[ (3+2√3) ²]² = (9+12√3+12) ² = (21+12√3) ²=441+504√3+432=

=873+504√3

(y1) ²=[ (3-2√3) ²]²=873-504√3

x^4+y^4=873+504√3+873-504√3=1746