Найти обшее решение уравнения:

у''+4 у=3 хсоs2x.

прошу помощи!

Есть кто - нибудь, умеющий решать?

1) Найдем общее решение однородного уравнения:

y''+4y=0

Характеристическое уравнение:

k²+4=0

k²=-4

k=+-√ (-4) = + - √4i²=+-2i

k=α+-β*i

α=0 β=2

Общее решение однородного ДУ имеет вид:

у. оо=exp (αx) * (C1*cos (βx) + C2*sin (βx)) =

=exp (0) * (C1*cos (2x) + C2*sin (2x)) =

=C1*cos (2x) + C2*sin (2x)

2) Найдем частное решение неоднородного уравнения

Правая часть имеет вид:

f (x) = 3x*cos2x=exp (0*x) * ((Ax+B) * cos2x + (Cx+D) * sin2x)

Т. к. k=α+βi=2i является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение ищем в виде:

у. чн=x * ((Ax+B) * cos2x + (Cx+D) * sin2x)) = (Ax²+Bx) * cos2x + (Cx²+Dx) * sin2x

у. чн' = (A²x+Bx) '*cos2x + (Ax²+Bx) * (cos2x) ' + (Cx²+Dx) '*sin2x + (Cx²+Dx) * (sin2x) '=

= (2Ax+B) * cos2x + (Ax²+Bx) * (-2) * sin2x + (2Cx+D) * sin2x + (Cx²+Dx) * 2cos2x=

= (2Ax+B+2Cx²+2Dx) * cos2x + (-2Ax²-2Bx+2Cx+D) * sin2x

у. чн'' = (2Ax+B+2Cx²+2Dx) ' * cos2x + (2Ax+B+2Cx²+2Dx) * (cos2x) ' + (-2Ax²-2Bx+2Cx+D) '*sin2x + (-2Ax²-2Bx+2Cx+D) * (sin2x) '=

= (2A+4Cx+2D) * cos2x + (2Ax+B+2Cx²+2Dx) * (-2) * sin2x + (-4Ax-2B+2C) * sin2x + (-2Ax²-2Bx+2Cx+D) * 2cos2x=

= (2A+4Cx+2D-4Ax²-4Bx+4Cx+2D) * cos2x+

+ (-4Ax-2B-4Cx²-4Dx-4Ax-2B+2C) * sin2x=

= (2A+8Cx+4D-4Ax²-4Bx) * cos2x + (-8Ax-4B-4Cx²-4Dx+2C) * sin2x

Подставим в исходное уравнение:

(2A+8Cx+4D-4Ax²-4Bx) * cos2x + (-8Ax-4B-4Cx²-4Dx+2C) * sin2x+

+ (4Ax²+4Bx) * cos2x + (4Cx²+4Dx) * sin2x=3x*cos2x

(2A+8Cx+4D) * cos2x + (-8Ax-4B+2C) * sin2x=3x*cos2x

х*cos2x: 8C=3 C=3/8

cos2x: 2A+4D=0 ⇒ A=-2D

x*sin2x: - 8A=0 ⇒ A=0

sin2x: - 4B+2C=0 ⇒ - 2B+C=0 ⇒ B=1/2C=1/2*3/8=3/16

D=0

Тогда

у. чн=3/16x*cos2x+3/8x²*sin2x

3) Найдем общее решение неоднородного уравнения:

у. он=у. оо+у. чн=

=C1*cos (2x) + C2*sin (2x) + 3/16x*cos2x+3/8x²*sin2x