Пусть d1, d2, ..., dn - все делители числа a. Докажите, что если d1+d2 + ... + dn=2a, то 1/d1+1/d2 + ... + 1/dn=2

Обозначим сумму делителей как S. Отсортируем все делители числа a по возрастанию. Тогда произведение крайних делителей будет давать само число a. Это и используем. Сгруппируем слагаемые (1/d1+1/dn) + (1/d2+d_ (n-1)) + ...

1) В случае, если количество делителей четно, то сгруппируются все слагаемые на n/2 пар.

1/d1+1/dn = (d1+dn) / (d1*dn) = (d1+dn) / a

1/d2+1/d_ (n-1) = (d2+d_ (n-1)) / (d2*d_ (n-1)) = (d2+d_ (n-1)) / a

...

В итоге сумма всех слагаемых равна (d1+dn+d2+d_ (n-1) + ...) / a=S/a

2) В случае, если количество делителей нечетно, то получится (n-1) / 2 пар и дробь 1/d_ ((n+1) / 2).

1/d_ ((n+1) / 2) = d_ ((n+1) / 2) / (d_ ((n+1) / 2)) ^2 = d_ ((n+1) / 2) / a.

Поэтому сумма дробей, включая эту, буде также равна S/a.

Раз S=2a, то S/a=2, ч. т. д.