Даны четыре вектора а = (2; 3; 7), b = (3; - 2; 4), c = (-1; 1; - 1), d = (1; 1; 3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

A, b, c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0. 4 3 - 1det (5 0 4) = - 3 * (5*2-4*2) - 1 * (4*4 - (-1) * 5) = - 27 - не равен 0, значит вектора 2 1 2a, b, c образуют базис, что и требовалось показать. Вектор d представим в виде:d = p*a + q*b + r*cТак как координаты d заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p, q, r:4p + 3q - r = 55p + 4r = 72p + q + 2r = 8 q = 8-2p-2r тогда получим систему 2p+7r=19 5p+4r=7 Решив, получим: p = - 1, r = 3 и тогда q = 4 Значит разложение выглядит так:d = - a + 4b + 3c