Периметр треугольника равен 36. докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из его вершин равен больше 6.

Рассмотрим треугольник АВС и произвольную точку М. Пусть МВ<6 и МС6.

При доказательстве используем неравенство треугольника.

В треуг. МВС: ВС<МВ+МС<6+6=12

В треуг. АВС: АВ+АС=Р-ВС=36-ВС>36-12=24

В треуг. АМВ: АМ>АВ-МВ

В треуг. АМС: АМ>АС-МС

Складываем последние два неравенства.

2 АМ> (АВ+АС) - (МВ+МС) *. из вышенаписанного: (АВ+АС) >24, (MB+MC12-6=6 (мы поделили неравенство * на 2)