Произведение первых n натуральных чисел обозначают n! и читают "эн факториал": n! = 1*2*3 * ... * (n-1) * n На сколько нулей оканчивается: а) 10! б) 50! в) 100!

Среди чисел 1, 2, ..., n количество чисел делящихся на простое число p равно [n/p], где [ ... ] - целая часть числа. Т. к. среди них есть числа делящиеся на p², p³, ..., то количество чисел среди них, которые делятся на p только в первой степени равно [n/p]-[n/p²], т. е. мы из всех делящихся на р вычли все, длящиеся на р². Аналогично, количество чисел в ряду 1, ..., n делящихся ровно на p² и не делящихся на p в степенях больших 2, равно [n/p²]-[n/p³]. Для степени p³ таких чисел будет [n/p³]-[n/p⁴] и т. д ... Таким образом, количество чисел, у которых в разложении на простые p входит в разложение ровно в k-ой степени равно [n/p^k]-[n/p^ (k+1) ].

Значит в разложении n! на простые множители простое p входит в степени

([n/p]-[n/p²]) + 2 ([n/p²]-[n/p³]) + 3 ([n/p³]-[n/p⁴]) + ... = [n/p]+[n/p²]+[n/p³]) + ...

Понятно, что с некоторой степени все целые части [n/p^k] будут равны 0, т. к. n/p^k станет меньше 1 при больших k (а именно, при k>[ln (n) / ln (p) ].).

Теперь, чтобы посчитать сколькими нулями оканчивается число n! нужно посчитать на какую степень десятки оно делится. Поскольку 10=2*5, нужно узнать в каких степенях 2 и 5 входят в разложение n! на простые множители и из этих степеней выбрать минимальную. Согласно доказанной формуле, очевидно, что степень двойки будет больше степени пятерки, поэтому достаточно посчитать степень пятерки.

Итак,

а) у числа 10! в разложении на простые 5 входит в степени

[10/5]+[10/5²] + ... = 2+0 + ... = 2, т. е. 10! заканчивается 2 нулями.

б) у числа 50! в разложении на простые 5 входит в степени

[50/5]+[50/5²].=10+2=12, т. е. 50! заканчивается 12 нулями.

в) у числа 100! в разложении на простые 5 входит в степени

[100/5]+[100/5²].=20+4=24, т. е. 100! заканчивается 24 нулями.