Доказать, что из равенства 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c следует равенство 1/a³+1/b³+1/c³=1/a³+b³+c³.

Приведем к общему знаменателю:

(bc+ac+ab) / abc=1 / (a+b+c)

(bc+ac+ab) * (a+b+c) = abc

(a+b) * (bc+ac+ab) + c * (bc+ac) + a*b*c=a*b*c

(a+b) * (bc+ac+ab) + c^2 * (a+b) = 0

(a+b) * (bc+ac+ab+c^2) = 0

(a+b) * (b * (a+c) + c * (a+c)) = 0

(a+b) * (b+c) * (a+c) = 0

То есть 3 варианта:

1) a=-b

2) b=-c

3) a=-c.

В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть первый вариант:

1/a^3+1/b^3+1/c^3 = - 1/b^3+1/b^3+1/c^3=1/c^3=1 / (-b^3+b^3+c^3) = 1 / (a^3+b^3+c^3) -

Что и требовалось доказать.