Сумма квадратов всех значений параметра а, при которых график функции y=x в квадрате - (a-8) x+4/x+1 имеет с осью абсцисс одну общую точку, равна:

Y = (x^2 - (a-8) x + 4) / (x+1)

Если график имеет одну точку пересечения с осью Ох, значит, уравнение в числителе имеет один корень, то есть D = 0

x^2 - (a-8) x + 4 = 0

D = (a - 8) ^2 - 4*1*4 = (a - 8) ^2 - 4^2 = (a-8-4) (a-8+4) = (a-12) (a-4) = 0

Ответ: при a = 12 и a = 4. Сумма их квадратов S = 144 + 16 = 160.