В чем сходство и различие между возведением во 2 степень произведения и дроби от извлечения квадратного корня из произведения и дроби

Квадратный корень из произведения и дроби

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого равен a. Например, числа - 5 и 5 являются квадратными корнями из числа 25. То есть, корни уравнения x^2=25, являются квадратными корнями из числа 25. Теперь необходимо научиться работать с операцией извлечения квадратного корня: изучить его основные свойства.

Квадратный корень из произведения

√ (a*b) = √a*√b

Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел, равен произведению квадратных корней из этих чисел. Например, √ (9*25) = √9*√25 = 3*5 = 15;

Важно понимать, что это свойство распространяется и на тот случай, когда подкоренное выражение представляет собой произведение трех, четырех и т. д. неотрицательных множителей.

Иногда встречается и другая формулировка этого свойства. Если a и b есть неотрицательные числа, то справедливо следующее равенство √ (a*b) = √a*√b. Разницы между ними нет абсолютно никакой, можно использовать как одну, так и другую формулировку (кому какую удобнее запомнить).

Квадратный корень из дроби

Если a>=0 и b>0, то справедливо следующее равенство:

√ (a/b) = √a/√b.

Например, √ (9/25) = √9/√25 = 3/5;

У этого свойства тоже существует другая формулировка, на мой взгляд, более удобная для запоминания.

Квадратный корень частного равен частному от корней.

Стоит отметить, что эти формулы работают как слева направо, так и справа налево. То есть при необходимости, мы можем произведение корней представить как корень из произведения. Тоже самое касается и второго свойства.

Как вы могли заметить, эти свойства очень удобны, и хотелось бы иметь такие же свойства для сложения и вычитания:

√ (a+b) = √a+√b;

√ (a-b) = √a-√b;

Но к сожалению таких свойств квадратные корни не имеют, и поэтому так делать при вычислениях нельзя.

Надеюсь помогла