Дана последовательность натуральных чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 5, либо в 7 раз. Сумма всех членов последовательности равна 420.

а) Может ли эта последовательность состоять из 135 членов?

б) Может ли эта последовательность состоять из 4 членов?

в) Найдите наименьшее возможное количество членов в этой последовательности.

Замечание. Подразумевается, что данная последовательность состоит не менее чем из двух членов.

а) Попробуем составить такую последовательность a₁, a₂, a₃ ..., чтобы сумма элементов была минимальна. Тогда a₁ = 1. a₂ либо 7a₁, либо a₁ + 5, но, так как a₁ + 5 < 7a₁, a₂ = a₁ + 5 = 6. Отсюда a₃ = a₂ - 5 = 1, a₄ = 6 и т. д. Тогда S = 68 * 1 + 67 * 6 = 470 > 420. Так как минимальная сумма 135 элементов больше 420, такого быть не может.

б) Да. Например, последовательность 100, 105, 110, 105. S = 100 + 105 + 110 + 105 = 420, каждый её член отличается от предыдущего на 5.

в) Пусть количество членов n = 2. Тогда при a₁ = x a₂ = x + 5 или a₂ = 7x. В первом случае x + x + 5 = 420 ⇔ 2x = 415 ⇒ x = a₁ ∉ N, т. к. слева чётное число, а справа нечётное. Во втором случае x + 7x = 420 ⇔ 8x = 420 ⇔ x = 52,5 ⇒ x = a₁ ∉ N. Значит, n ≠ 2.

Пусть n = 3. Такая последовательность существует, например, 135, 140, 145. S = 135 + 140 + 145 = 420, каждый её член отличается от предыдущего на 5.

Ответ: а) нет; б) да; в) 3