Решить уравнение при 1<=x<=6

Question

Алгебра

Эркома

8 мая, 07:00

Решить уравнение при 1<=x<=6

+3

Ответы (1)

Знаешь ответ?

Марленста · Answer 1

3log₂² (sin (пx/3)) + log₂ (1-cos (2 пx/3)) = 2

ОДЗ:

{sin (пx/3) >0 6k
{1-cos (2 пx/3) >0 x≠3k, тогда

общее ОДЗ: 6k
Так как 1-cos (2x) = 2sin²x, то перепишем уравнение:

3log₂² (sin (пx/3)) + log₂ (2sin² (пx/3)) = 2

Замена: t=sin (пx/3)

3log₂²t+log₂ (2t²) = 2

3log₂²t+log₂2+log₂ (t²) = 2

3log₂²t+2log₂t-1=0

Замена: z=log₂t

3z²+2z-1=0

(z+1) (3z-1) = 0

z=-1 и z=1/3

log₂t=-1 = > t=1/2

log₂t=1/3 = > t=∛2

sin (пx/3) = 1/2

x=1/2+6k, k∈Z (1)

x=5/2+6k, k∈Z (2)

sin (пx/3) = ∛2>1, решений нет

Тогда по условию 1≤x≤6, подбираем такие k, при которых условие будет выполняться. Тогда подставляя в (1) и (2) получаем, что на данном промежутке будет один корень - x=5/2.

Ответ: x=5/2.