Найти наибольшее значение функции y=x^2 (x-6) + 5 на отрезке [-1; 2]

y = x² (x - 6) + 5

y = x³ - 6x² + 5

Находим производную функции:

y' = 3x² - 12x

Исследуем на монотонность функцию:

y' ≥ 0

3x² - 12x ≥ 0

3x (x - 4) ≥ 0

x ≥ 0 при (-∞; 0] и при [4; + ∞), т. е. функция возрастает на (-∞; 0], убывает на [0; 4] и возрастает на [4; + ∞).

Находим значения функции в крайних точках и точке 0 (эта точка является точкой максимума, т. к. в ней существует производная и функция меняет возрастание на убывание):

y (-1) = - 1 - 6 + 5 = - 2

y (2) = 8 - 24 + 5 = - 9

y (0) = 0 - 0 + 5 = 5

Ответ: yнаиб. = 5.