Пусть х1 и х2 корни равнения 2 х^2-5x-4=0 не вычисляя корней, нйдите значения: 1/х1^2+1/х2^2 x1x2^4+x2x1^4

По теореме Виета

x1*x2 = c/a = - 4/2 = - 2

x1 + x2 = - b/a = 5/2 = 2,5

Теперь решаем

1) 1/x1^2 + 1/x2^2 = (x1^2 + x2^2) / (x1^2*x2^2)

Чтобы не путаться в скобках, я напишу числитель и знаменатель отдельно.

Числитель:

x1^2 + x2^2 = x1^2 + 2x1*x2 + x2^2 - 2x1*x2 = (x1+x2) ^2 - 2x1*x2 =

= 2,5^2 - 2 (-2) = 6,25 + 4 = 10,25

Знаменатель:

x1^2*x2^2 = (x1*x2) ^2 = (-2) ^2 = 4

Дробь:

10,25/4 = (41/4) / 4 = 41/16

2) x1*x2^4 + x2*x1^4 = x1*x2 * (x2^3+x1^3) = x1*x2 * (x1+x2) (x1^2-x1*x2+x2^2) =

= (-2) * 2,5 * (x1^2+2x1*x2+x2^2-3x1*x2) = - 5 * ((x1+x2) ^2-3x1*x2) =

= - 5 * (2,5^2-3 (-2)) = - 5 * (6,25+6) = - 5*12,25 = - 61,25 = - 245/4