Помогите 5sinx+cosx=5

Решение

5sinx+cosx=5

Применяя формулы:

sinx = sin2 * (x/2); cosx = cos2 * (x/2)

sin ²x/2 + cos²x/2 = 1

Получим уравнение:

5 * sin2 * (x/2) + cos2 * (x/2) = 5 * (sin ²x/2 + cos²x/2)

5 * (2sinx/2 * cosx/2) + (cos ²x/2 - sin²x/2) = 5 * (sin ²x/2 + cos²x/2)

10 sinx/2 * cosx/2 + cos²x/2 - sin²x/2 - 5sin ²x/2 - 5cos²x/2 = 0

- 6sin ²x/2 + 10sinx/2 * cosx/2 - 4cos²x/2 = 0 делим на ( - 2cos²x/2 ≠ 0)

3tg²x/2 - 5tgx + 2 = 0

tgx = t

3t² - 5t + 2 = 0

D = 25 - 4*3*2 = 1

t₁ = (5 - 1) / 6 = 4/6 = 2/3

t₂ = (5 + 1) / 6 = 6/6 = 1

tgx = 2/3

x₁ = arctg (2/3) + πk, k ∈ Z

tgx = 1

x₂ = π/4 + πn, n ∈ Z