Для положительных чисел а и b доведите неравенство а²/b + b²/2006 ≥ 4 (a-2006)

Доказать неравенство: а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³

Тут штука такая: надо просто помнить, что если a > b, значит, a - b > 0

Эти 2 неравенства друг без друга "жить не могут". если надо доказать 1-е, надо смотреть 2-е и наоборот. Вот, давай посмотрим:

Нам надо доказать ≥.

Значит, будем смотреть разность и она должна быть ≥ 0

а⁴+b⁴ - a³b - ab³ = (а⁴ - а³b) + (b⁴ - ab³) = a³ (a - b) - b³ (a - b) =

= (a - b) (a³ - b³) = (a - b) (a - b) (a² + ab + b²) = (a - b) ² (a² + ab + b²) - а это выражение всегда ≥ 0 (первая скобка в квадрате, а во второй скобке сумма квадратов двух чисел всегда > их произведения.), ⇒

⇒ а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³