18 октября, 20:52

Помогите с дифференциальным уравнением (1+4x^3) y"-12x^2y'=0

+3
Ответы (1)
  1. 18 октября, 22:40
    0
    Данное уравнение не содержит самой неизвестной функции y (x), поэтому можно понизить порядок уравнения. Пусть y' (x) = z (x) ⇒y'' (x) = z' (x) и уравнение примет вид (1+4*x³) * z'=12*x²*z. Разделив обе части на 1+4*x³, получаем уравнение z'=dz/dx=12*x²*z / (1+4*x³). Умножая обе части на dx и разделив на z, приходим к уравнению dz/z=12*x²*dx / (1+4*x³). А так как d (1+4*x³) = 12*x²*dx, то это уравнение можно записать в виде dz/z=d (1+4*x³) / (1+4*x³). Интегрируя обе части, получаем ln/z/=ln/1+4*x³/+lnC1, где C1>0 - произвольная постоянная. Отсюда ln/z/=ln/C1 * (1+4*x³) /, z (x) = C1 * (1+4*x³) и мы приходим к уравнению y'=dy/dx=C1 * (1+4*x³). Умножая на dx, получаем dy=C1 * (1+4*x³) * dx. Интегрируя обе части, получаем y (x) = C1*x+C1*x⁴+C2. Проверка: y' (x) = C1+4*C1*x³, y'' (x) = 12*C1*x², (1+4*x³) * y''-12*x²*y'=12*C1*x² * (1+4*x³) - 12*x²*C1 * (1+4*x³) = 0 - решение найдено верно. Ответ: y (x) = C1*x * (1+x³) + C2.
Знаешь ответ?
Не уверен в ответе?
Найди верный ответ на вопрос ✅ «Помогите с дифференциальным уравнением (1+4x^3) y"-12x^2y'=0 ...» по предмету 📙 Алгебра, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы