Известно, что число √2 является корнем уравнения х^3 - (а+2) х^2+bx-2 а=0 (а и b - целые). найдите значения а и b и остальные корни уравнения

task/30061578 Известно, что число √2 является корнем уравнения x³ - (а+2) x²+bx-2a = 0 (а и b - целые). Найдите значения а и b и остальные корни уравнения.

решение √2 корень уравнения, следовательно:

(√2) ³ - (а+2) * (√2) ² + b*√2-2a = 0 ⇔ (2+b) √2 - 4 (a+1) = 0; a, b ∈ ℤ ⇒

2+b = 0, т. е. b = - 2; 0 - 4 (a+1) = 0 ⇔a+1 = 0 ⇒ a = - 1.

Определили коэффициенты a и b. Получили определенное уравнение: x³ - x²-2x + 2 = 0 ⇔x² (x - 1) - 2 (x - 1) = 0⇔ (x-1) (x²-2) = 0⇔ (x-1) (x-√2) (x+√2) = 0.

[ x = - √2; x = 1; x = √2.

ответ: a = - 1, b = - 2. x = { - √2; 1; √2 }.