Дана последовательность an=n.

а) Первые 102 её члена записали в другом порядке: сначала числа, кратные двум, в порядке возрастания, затем числа кратные трём (также в порядке возрастания), на последнем месте - число 1. Существует ли число, которое сохранило свой номер?

б) Каждый из членов исходной последовательности со второго по 203-й возвели в квадрат. На сколько сумма нечётных квадратов больше, чем сумма чётных?

А) да

изначально на 101-месте будет число 101

после перестановок на 101 месте тоже будет число 101 (так как оно простое, единственное кратное 101)

б) изначально было 1,2,3, ..., 201, 202, 203

после возведения в квадрат 1, 2*2, 3*3, ..., 203*203

учитывая, что 3*3-2*2 = (2+1) * (2+1) - 2*2=2*2+1

5*5-4*4 = (4+1) * (4+1) - 4*4=2*4+1

...

203*203-202*202 = (202+1) * (202+1) - 202*202=2*202+1

то (1+3*3+5*5 + ... + 203*203) - (2*2+4*4+6*6 + ... + 202*202) =

1 + (2*2+1) + (2*4+1) + ... + (2*202+1) =

=2 * (2+4+6 + ... + 202) + (1+1 + ... + 1) (203 раза) = 4 * (1+2 + ... + 101) + 203=

4*101*102:2+203=20807

использовали тот факт, что сумма первых n натуральных чисел равна

1+2+3 + ... + n=n (n+1) / 2