Решить уравнение:

у''-2 у=2 х+3

Неоднородное уравнение 2 порядка.

1) решаем однородное.

y'' - 2y = 0

Характеристическое уравнение

k^2 - 2 = 0

k1 = - √2; k2 = √2

y0 = C1*e^ (-√2x) + C2*e^ (√2x)

Здесь корни только из 2, но не из x.

2) решаем неоднородное

y~ = Ax + B

y~ ' = A; y~ '' = 0

Подставляем в уравнение

0 - 2 (Ax + B) = 2x + 3

y~ = Ax + B = - x - 3/2

3) решение

y (x) = y0 + y~ = C1*e^ (-√2x) + C2*e^ (√2x) - x - 3/2