Решить в целых числах уравнение 1!+2!+3!+4! + ... + х!=у^2

Я буду рассуждать следующим образом:

1. Корни, которые видно сразу:

x=0, y=1 (т. к. 0!=1 по определению факториала)

x=0, y=-1

x=1, y=1

x=1, y=-1

Факториала из отрицательного числа не существует, следовательно, все x >=0.

2. Других корней нет, так как и левая, и правая части возрастают

Рассмотрим f (x) = x! и g (x) = y^2

g (x) - это парабола, наклоненная на 90 градусов, т. е. ветви направлены вправо.

f (x) = x!~x^x*ln (x) по ф-ле Стирлинга, т. е. возрастает быстрее любой степенной функции, т. е. заведомо быстрее чем y^2. Это можно доказать, рассмотрев производные этих функций, либо просто на графике показать. Следовательно, точек пересечения графики этих функций кроме вышеназванных не имеют.

Функция же f1 (x) = 1!+2! + ... + x! возрастает ещё быстрее, чем x!, следовательно, других корней у этого уравнения нет.