Как найти корень в логарифмическом уравнении?

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с понятием и видами логарифмов и основными формулами.

Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид logax = b, где a и b - некоторые числа, x - неизвестное.

Решением логарифмическое уравнения является x = a b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log2 х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log22. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log2 х = log216. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения logax = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

одинаковые числовые основания у логарифмовлогарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т. е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log2 х = 2log2 (1 - х) потенцирование неприменимо - коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log2 х+log2 (1 - х) = log2 (1+х) также не выполняется одно из ограничений - слева логарифма два. Вот был бы один - совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

loga ( ...) = loga ( ...)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение - линейное, квадратное, показательное и т. п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

Возьмем другой пример:

log3 (2 х-5) = log3 х

Применяем потенцирование, получаем:

2 х-5 = х

х=5

Пойдем дальше. Решим следующий пример:

log3 (2 х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм - это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т. е. (4 х-1), получаем:

3 2 = 2 х-1

Д