Докажите что последовательность натуральных чисел которые при делении на k дают в остатке r является арифметической прогрессии с разностью k

В общем, это очевидно.

Условие сравнимости числа A по модулю k с r можно написать в виде

A = nk + r, где n = 0, 1, 2 ... (если r > 0)

Это условие задаёт ар. пр., т. к. разность между соседними числами, отвечающими значениям n + 1 и n равна k:

A (n+1) - A (n) = (nk + k + r) - (nk + r) = k