Известно что функция y=F (x) - первообразная для функции y = (x^3-9 х) * корень (x-2). Исследуйте функцию y=F (x) на монотонность и экстремумы. Последняя надежда

Чтобы найти первообразную F (x), надо проинтегрировать заданную функцию.

∫ (x³-9x) * √ (x-2) * dx. Сделаем замену: t²=x-2, x=t²+2, dx=2t dt. Тогда получим интеграл

∫[ (t²+2) ³-9 (t²+2) ] * 2t² dt = 2 ∫[t⁶+6t⁴+12t²+8-9t²-18]*t²dt = 2 ∫[ t⁸+6t⁶+3t⁴-10t² ]*dt = 2[ t⁹/9+6t⁷/7+3t⁵/5-10t³/3] + C = 2/9*t⁹+12/7*t⁷+6/5*t⁵-20/3*t³ + C, где t=√ (x-2).

Для исследования F (x) надо найти производную от неё F¹ (x), приравнять нулю Но производная должна быть равна заданной функции у = (x³-9x) * √ (x-2). Это по определению первообразной.

y¹ = (3x²-9) * √ (x-2) + (x³-9x) * 1 / √ (x-2) = 1/√ (x-2) * [2 (3x²-9) (x-2) + x³-9x]=0

То, что в квадр. скобках - числитель, а в знаменателе - √ (х-2).

х≠2, числитель 7x³-12x²-27x+36=0. Из этого уравнения найдете корни (подбором, 36 должно делиться на корни). Корни являются критическими точками, то есть точками, подозрительными на экстремум.

В этом примере первообразная нужна, чтобы найти "у" экстремальных точек.