Sin2 (x) + sin^2 (2x) = cos^2 (3x) + cos^2 (4x)

Cos^2 (x) + cos^2 (2x) = cos^2 (3x) + cos^2 (4x)

cos^2 (x) - cos^2 (3x) = cos^2 (4x) - cos^2 (2x)

далее разность квадратов с обоих сторон

(cos (x) - cos (3x)) * (cos (x) + cos (3x)) = (cos (4x) - cos (2x)) * (cos (4x) + cos (2x))

далее применяем формулы

cosA-cosB=-2sin ((A+B) / 2) * sin ((A-B) / 2)

cosA+cosB=2cos ((A+B) / 2) * cos ((A-B) / 2)

получаем,

-2sin ((x+3x) / 2) * sin ((x-3x) / 2) * 2cos ((x+3x) / 2) * cos ((x-3x) / 2) =

= - 2sin ((4x+2x) / 2) * sin ((4x-2x) / 2) * 2cos ((4x+2x) / 2) * cos ((4x-2x) / 2)

упрощаем слегка, 2-йки сокращаем, имеяя ввиду, что sin (-x) = - sin (x), а cos (-x) = cos (x)

sin (2x) * sin (x) * cos (2x) * cos (x) = - sin (3x) * sin (x) * cos (3x) * cos (x)

сокращая на sin (x) и cos (x) имеем ввиду, что это также является решением уравнения, т. е. уравнение распадается на три уравнения

1) sin (x) = 0, тут x=Пk, где k-целое число

2) cos (x) = 0, тут x=П/2*k, где k-целое число

3) после сокращения на sinx и cosx

sin (2x) cos (2x) = - sin (3x) cos (3x)

здесь применяем формулу sin (2x) = 2*sin (x) * cos (x), получаем

1/2*sin (4x) = - 1/2*sin (6x)

sin (4x) + sin (6x) = 0

далее применяем формулу sinA+sinB=2sin ((A+B) / 2) * cos ((A-B) / 2), получаем

2sin ((4x+6x) / 2) * cos ((4x-6x) / 2) = 0

на 2 сокращаем, получаем

sin (5x) * cos (x) = 0

cos (x) = 0 у нас уже имелось в пункте 2)

остается

sin (5x) = 0 = > 5x=Пk = > x=П/5*k, k - целое

Объединяем решения:

1) x=Пk, где k-целое число

2) x=П/2*k, где k-целое число

3) x=П/5*k, k - целое

третье включает в себя первое, можно на тригонометрическом круге посмотреть, если так не понятно, поэтому остается

2) x=П/2*k, где k-целое число

3) x=П/5*k, k - целое число

Дальше мудохаться не стоит,

Ответ:

x=П/2*k, где k-целое число и x=П/5*k, где k - целое число

p. s. П-это пи=3.1415 если что (число Эйлера вроде как)