докажите, что если при некотором натуральном значении n число n^3-n делится на 6, то и число (n+1) ^3 - (n+1) также делится на 6

(n+1) ^3 - (n+1) = (n+1) { (n+1) ^2-1} = (n+1) (n+1+1) (n+1-1) = n (n+1) (n+2).

Натуральные числа, идущие друг за другом. Хотя бы одно из них четное, значит, делится на 2. Хотя бы одно из н кратно 3. Значит, всё произведение кратно 6.