Число 155 разделить на три части так, чтобы полученные числа составляли геометрическую прогрессию, при этом первый член был меньше третьего на 120

Обозначим слагаемые как a, aq, aq^2. По построению получилась геометрическая прогрессия. Осталось учесть, что:

1) сумма чисел равна 155: a (1 + q + q^2) = 155

2) первый член меньше третьего на 120: a (q^2 - 1) = 120

Из второго уравнения a = 120 / (q^2 - 1). Подставляем в первое уравнение:

120 (q^2 + q + 1) / (q^2 - 1) = 155

24 (q^2 + q + 1) = 31 (q^2 - 1)

24q^2 + 24q + 24 = 31q^2 - 31

7q^2 - 24q - 55 = 0

D/4 = 12^2 + 7 * 55 = 144 + 385 = 529 = 23^2

q = (12 + - 23) / 7

q = - 11/7 или q = 5

1) q = - 11/7. a = 120 / (q^2 - 1) = 120 / (121/49 - 1) = 245/3

Получившиеся числа: 245/3, - 385/3, 605/3

Если вас не смущает, что получились и отрицательные числа (это рависит от того, как понимать "разделение" из условия), то можно писать в ответ. Можно ограничиться и только вторым ответом, там и числа красивее.

2) q = 5. a = 120 / (q^2 - 1) = 120 / (25 - 1) = 5

Получившиеся числа: 5, 25, 125.

Ответ. 5, 25, 125 [или 245/3, - 385/3, 605/3, если это подпадает под ваше понимание условия].

A1; a1q; a1q²

{a1+a1q+a1q²=155⇒a1 (1+q+q²) = 155⇒a1=155 / (1+q+q²)

a1q²-a1=120⇒a1 (q²-1) = 120⇒a1=120 / (q²-1)

155 / (1+q+q²) = 120 / (q²-1)

31 / (1+q+q²) = 24 / (q²-1)

24 (1+q+q²) = 31 (q²-1)

31q²-31-24-24q-24q²=0

7q²-24q-55=0

D=576+1540=2116

q1 = (24-46) / 14=-11/7

q2 = (24+46) / 14=5

a1=120: (121/49-1) = 120:72/49=120*49/72=245/3=81 2/3

Последовательность 81 2/3; -128 1/3; +201 2/3

81 2/3-128 1/3+201 2/3=283 1/3-128 1/3=155

a1=120 / (25-1) = 120/24=5

Последовательность 5; 25; 125

5+25+125=155