При каком значении "a" вектора (1,2,3, a) (2,4,7,1) (3,6,10,5) линейно зависимы?

По определению линейной зависимости существует тройка чисел (x, y, z) не равная нулю, что

x+2y+3z=0

2x+4y+6z=0 - выкидываем

3x+7y+10z=0

ax+y+5z=0

имеет ненулевое решение. Система однородная, значит она имеет ненулевое решение когда определитель равен 0

|1 2 3|

|3 7 10|=4-a=0 = > a=4

|a 1 5|