Могут ли английские предложения существовать без вспомогательного глагола?

Да, могут потому что предлог это предлог, а вспомогательный просто помогает

Да, могут. Вспомогательный глагол нужен для образования отрицательного предложения (She doesn't like winter.) или вопроса (Do you like winter?). Для утвердительного предложения он не нужен (I like winter.).