Как найти формулу Б-1

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, геометрическая прогрессия - это числовая последовательность заданная соотношениями

bn+1 = bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0

q - знаменатель прогрессии

Геометрическая последовательность является возрастающей, если b 1 > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81, ...

Геометрическая последовательность является убывающей, если b 1 > 0, 0 < q < 1

Например,

Формула n-го члена геометрической прогрессии

bn = b1 · q n-1

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

bn 2 = bn-1 · b n+1

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Основные определения и данные для геометрической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение геометрической прогрессии bn+1 = bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0 Знаменатель геометрической прогрессии Формула n-го члена геометрической прогрессии bn = b1 · q n-1 Сумма n первых членов геометрической прогрессии Характеристическое свойство геометрической прогрессии bn2 = bn-1 · b n+1

Пример 1.

Дана геометрическая прогрессия b1, b2, b3, ..., bn, ...

Известно, что b 1 = 2/3, q = - 3. Найти b6

Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

Подставив в эту формулу n = 6 получим:

b6 = b1 · q5 = 2/3 · (-3) 5 = - 162

Ответ - 162.

Пример 2.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3, ...

Решение

b1 = 12, b2 = 4,

q = 4/12 = 1/3

S = 12 / (1 - 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3 / 2 = 18

Ответ 18.

Пример 3.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Найти b1, если q = 1/3

Решение

150 = b1 / (1 - 1/3)

b1 = 150· 2/3

b1 = 100

Ответ 100.