Замкнутая цепочка массой 157 г надета "с натягом" на жесткий вертикальный цилиндр радиусом 5 см. Натяжение цепочки равно 3 Н. До какой угловой скорости надо раскрутить цилиндр, чтобы цепочка соскользнула с него вниз? Коэффициент трения цепочки о цилиндр 0,1, g = 10 м/с2. Принять п = 3,14.

Поскольку в условии указано, что жесткость цилиндра велика, то при раскручивании он не деформируется, т. е. длина цепочки и ее натяжение T не меняются.

Длина цепочки 2πR, так как масса по цепочке распределена равномерно, то ее плотность

m / (2πR) = Δm / (RΔα) или Δm = mΔα / (2π),

здесь RΔα = l, малый элемент дуги, Δα - угол, под которым этот элемент виден из центра окружности

На элемент цепочки массойΔm = mΔα / (2π) действуют равнодействующая сил натяжения, равная TΔα, сила нормальной реакции цилиндра N, сила тяжести Δmg и сила трения Fmp. Второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления имеет вид

TΔα - N = Δmω2R, Fmp - Δmg = 0.

Учитывая, что в момент начала проскальзывания

Fmp = μN,

Окончательно получаем

T = (m / (2&pi)) (g/μ + ω2R).

Подставим численные значения

T = (0,157 / (2•3,14)) (10/0,1 + 202•0,05) = 3 H ...