Плотность некоторой планеты такая же, как и у Земли, а радиус вдвое меньше. Найдите отношение первой космической скорости для Земли и для планеты.

1. Найдём отношения масс первой планеты (Земли) ко второй (планеты) при том, что R₁ = 2R₂ (радиус Земли в 2 раза больше радиуса планеты) и плотность ρ одинакова.

ρ = M/V = M / (4/3 пR³) = M₁ / ((4/3) пR₁³) = M₂ / ((4/3) пR₂³)

M = ρV; M₁ = ρ ((4/3) пR₁³); M₂ = ρ ((4/3) пR₂³)

Тогда M₁/M₂ = ρ ((4/3) пR₁³) / (ρ (4/3) пR₂³)) = R₁³/R₂³ = (R₂/R₁) ³ =

= (2R₁/R₁) ³ = 2³ = 8

Значит, M₁ = 8M₂ то есть масса Земли в 8 раз больше массы планеты.

2. Первая космическая

v = √GM/R

Для Земли:

v₁ = √GM₁/R₁

для планеты

v₂ = √GM₂/R₂

3. Отношение первых космических скоростей

v₁/v₂ = √ ((GM₁/R₁) / (GM₂/R₂)) = √ (M₁R₂ / (M₂R₁)) = √ (8M₂R₂ / (M₂2R₂)) =

= √ (8/2) = √4 = 2

Таким образом

v₁ = 2v₂ то есть первая космическая Земли в 2 раза больше первой космической планеты той же плотности, но с радиусом в 2 раза мЕньшим земного.