Найдите период вертикальных гармонических колебаний бутылки, плавающей на поверхности воды в вертикальном положении дном вниз, если ее масса 300 г, площадь дна 30 см2. Трением пренебречь.

Найдите период вертикальных гармонических колебаний бутылки, плавающей на поверхности воды в вертикальном положении дном вниз, если ее масса 300 г, площадь дна 30 см2. Трением пренебречь.

Дано:

m = 300 г=0,3 кг;

S = 30 см^2 = 30 (10^ (-2)) ^2 м² = 30*10^ (-4) м²

g = 9,81 м/с²

pв=1000 кг/м³

Найти: Т

Решение:

Рассмотрим условие плавания тела:

mg = Fa = pв*g*Vo = pв*g*S*ho,

, где Vo - объем части бутылки, находящейся в воде; Fa - сила Архимеда; рв - плотность воды; S - площадь дна бутылки; g - ускорение свободного падения; ho - глубина погружения бутылки в воду.

При погружении бутылки в воду на глубину х:

Fa1 > m*g, Fa1 = pв*g*S * (ho+x)

Fр = Fa1 - mg = pв*g*S * (ho+x) - pв*g*S*ho = pв*g*S*x

где х - изменение глубины погружения бутылки, которая, впрочем, равна амплитуде колебаний: х = A.

Эта сила (Fр) является возвращающей силой и вызывает колебания около положения равновесия.

Fp = - k*х, отсюда k = pв*g*S

Период колебания маятника определяется по формуле

T = 2 пи*корень (m/k) = 2 пи*корень (m / (pв*g*S))

Проверка единиц измерений

корень ([m] / ([pв]*[g]*[S]) = корень (кг / ((кг/м³) * (м/с²) * м²)) =

=корень (1 / ((1/м) * (м/c²)) = корень (c²) = c

Подставим числовые значения

T = 2*3,14*Корень (0,3 / (1000*9,81*30*10^ (-4))) = 0,634 с = 634 мc

Если принять что g = 10 м/c² то получим

T = 2*3,14*Корень (0,3 / (1000*10*30*10^ (-4))) = 0,628 с = 628 мc

Изменение положения равновесия на х приводит к появлению дополнительной выталкивающей силы архимеда

mx''=-x*S*ro_вод*g=-kx

T=2pi/w=2pi * корень (m/k) = 2pi * корень (m / (S*ro_вод*g)) = 2*pi * корень (0,3 / (30*10^ (-4) * 1000*10)) сек = 2pi/10 сек ~ 0,628318531 сек