Медная электрическая провалка была заменена на алюминиваю такой же длины и сопотрибления. определить соотношения между сечениями проводов найти экономию в массе получинную при замене медного провода алюминиевым

Сопротивление R проводника рассчитывается по формуле:

R = ρL/S,

где ρ - удельное сопротивление (Ом*м, на практике для удобства используют размерность Ом·мм²/м), L - длина проводника (м), S - площадь сечения проводника (м²)

Или R/L = ρ/S

По условию задачи R/L - постоянная величина, поскольку постоянны R и L (сопротивление и длина проводников одинаковые). Значит, отношение ρ/S тоже постоянная величина, хотя ρ и S могут изменяться.

Тогда ρ (Al) / S (Al) = ρ (Cu) / S (Cu)

Тогда соотношение между сечениями проводов:

S (Cu) / S (Al) = ρ (Cu) / ρ (Al) - чем меньше удельное сопротивление, тем меньше нужно сечение провода, чтобы обеспечить неизменное сопротивление при неизменной длине.

Справочные данные:

ρ (Cu) = 0,017 Ом·мм²/м

ρ (Al) = 0,026 Ом·мм²/м

S (Cu) / S (Al) = 0,017/0,026 = 0,65

S (Cu) = 0,65*S (Al)

Как видно, площадь сечения медного провода меньше сечения алюминиевого провода. На первый взгляд, медный, а не алюминиевый провод дает экономию в массе. Ведь при одинаковой длине более тонкий провод легче более толстого. Но это при одинаковой плотности проводов. А медь и алюминий сильно отличаются по плотности.

Рассчитаем соотношение масс m проводов одинаковой длины L, но разной плотности d и сечения S.

Масса провода: m = Vd = LSd (V - объем провода, V=LS)

Соотношение масс:

m (Cu) / m (Al) = LS (Cu) d (Cu) / [LS (Al) d (Al) ] = S (Cu) d (Cu) / [S (Al) d (Al) ] =

= 0.65*S (Al) d (Cu) / [S (Al) d (Al) ] = 0.65d (Cu) / d (Al)

Справочные данные:

d (Cu) = 8,9 г/см³

d (Al) = 2.7 г/см³

m (Cu) / m (Al) = 0.65d (Cu) / d (Al) = 0,65*8,9/2,7 = 2,1

m (Cu) = 2.1*m (Al)

m (Al) = m (Cu) / 2.1

Экономия абсолютная (разница масс "до и после") : m (Cu) - m (Al) =

= m (Cu) - [m (Cu) / 2.1] = m (Cu) * (2.1-1) / 2.1 = m (Cu) * (1.1) / 2.1 = 0.52*m (Cu)

Экономия относительная (экономия абсолютная, деленная на начальную массу) : 0.52*m (Cu) / m (Cu) = 0.52 = 52%

Как видно, масса медного провода той же длины и с тем же сопротивлением, что и алюминиевый, в 2,1 раза больше, чем масса алюминиевого. Экономия в массе - 2,1 раза или 52%.