Конденсатор емкости C замкнут на резистор с сопротивлением R. В начальный

момент времени ток в цепи равен I (нулевое). Определите закон изменения заряда на

обкладках конденсатора. За какое время величина тока упадет в 2 раза?

По второму закону Кирхгофа, при отсутствии в контуре источников эдс сумма напряжений на резисторе и конденсаторе равна 0: Ur+Uc=0. Но Ur=R*i=R*dq/dt, а Uc=1/C*∫i (t) * dt=q/C. Отсюда получаем уравнение R*dq/dt+q/C=0, или R*dq/dt=-q/C, или dq/q=-dt / (R*C). Интегрируя, находим ln/q/=e^ (-t / (R*C)) + ln q0, откуда q=q0*e^ (-t / (R*C)), где q0 - заряд конденсатора в момент времени t=0. Отсюда ток в контуре i=dq/dt=-q0 / (R*C) * e^ (-t / (R*C)). Так как по условию при t=0 i=0, то в момент времени t=0 ток мгновенно возрастает от 0 до q0 / (R*C) и затем убывает, стремясь к 0 при t⇒∞. Пусть t1 - время, через которое сила тока уменьшится в 2 раза, то есть станет равной i1=q0 / (2*R*C). Решая уравнение q0 / (R*C) * e^ (-t1 / (R*C)) = q0 / (2*R*C), получаем e^ (-t1 / (R*C)) = 1/2. Отсюда e^ (t1 / (R*C)) = 2, t1 / (R*C) = ln2, t1=R*C*ln2 с.

Ответ: 1) q (t) = q0*e^ (-t / (R*C)), 2) через R*C*ln2 с.