Воздушный шар с нерастяжимой оболочкой массой m = 0,3 кг наполнен гелием при температуре Т1 = 300 К и давлении Р1 = 1,2*10^5 Па. Объем шара V = 1 м3. Определите высоту, на которой шар будет находиться во взвешенном состоянии (шар свободно плавает в воздухе), если при подъеме на каждые L = 100 м высоты атмосферное давление падает на dР = 1,33*10^3 Па, а температура понижается на dТ = 0,54 К. Атмосферное давление и температура воздуха у поверхности Земли равны соответственно Р0 = 1,01*10^5 Па и Т0 = 300 К, молярные массы воздуха Mв = 2,9*10^-2 кг/моль и гелия Mг = 4*10^-3 кг/моль. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Уравнение Менделеева-Клайперона: pV = m/M * RT

Находим массу газа в шаре:

mг = P1 V Mг / R T1 = (1.2 * 10^5 * 1 * 4 * 10^-3) / (8,31 * 300) кг = 0.19 кг

Масса шара с газом: M = m + mг = 0,49 кг

Шар будет свободно плавать, если его масса равна массе вытесненного им воздуха. Если это будет происходить на высоте h, то атмосферное давление на этой высоте равно P = P0 - dP * h/L, температура T0 - dT * h/L. Уравнение М.-К.:

(P0 - dP * h/L) * V = M/Mв * R * (T0 - dT * h/L)

Обозначим h/L = x и решим уравнение относительно x:

(1.01 * 10^5 - 1.33 * 10^3 * x) * 1 = 0.49 / (2.9 * 10^-2) * 8.31 * (300 - 0.54 x)

101000 - 1330x = 42000 - 80x

1250x = 59000

x = 47.2

h = xL = 4720 м