Движение точки задано уравнениями: x=1+3cos (пи*t^2/3); y = 3+3sin (пи*t^2/3). Для момента t=1c найти скорость точки и ее нормальное ускорение.

Проекции скорости на оси:

Vx (t) = x' (t) = 3· (-sin (pi·t^2/3) · (2pi·t/3) = - 2pi·t·sin (pi·t^2/3).

Vy (t) = y' (t) = 2pi·t·cos (pi·t^2/3).

V (t) = корень (Vx^2+Vy^2) = 2pi·t.

V (1) = 2 pi = 6,28 м/с.

Проекции ускорения на оси:

ах (t) = Vx' (t) = - 2pi· (sin (pi·t^2/3) + 2pi·t/3 · t· cos (pi·t^2/3)).

ay (t) = Vy' (t) = 2pi· (cos (pi·t^2/3) - 2pi·t^2/3 · sin (pi·t^2/3).

ax (1) = - 2pi (sin (pi/3) + 2pi/3·cos (pi/3)) = - 2pi (¥3/2 + pi/3) = - pi/3 · (3¥3 + 2pi).

ay (1) = 2pi (cos (pi/3) - 2pi/3·sin (pi/3) = pi/3· (3-2pi¥3).

a = корень (ах^2+ау^2) = pi/3·корень (27+4pi^2 + 12pi¥3 + 9 + 12pi^2-12pi¥3) = pi/3 корень (36+16pi^2).

Касательное ускорение:

at=V' (t) = (2pi·t) '=2pi.

Нормальное ускорение:

an = корень (а^2 - ат^2) = корень (-4pi^2+36pi^2/9 + 16pi^4/9) = 4pi^2/3=4·3,14·3,14/3 = 13,16 м/с^2.