Тело отпустили с высоты ℎ = 3 м от горизонтальной поверхности. При

каждом упругом ударе о поверхность тело отскакивает со скоростью в два

раза меньшей, чем до удара. Найдите путь, пройденный телом за длительное

время.

Для начала найдем скорость тела перед первым ударом используя закон сохранения энергии и приравняв потенциальную энергию тела на высоте h и кенетическую энергию тела перед ударом.

mgh=mv₀²/2

v₀²=2gh

v₀=√ (2gh)

Поселе первого удара скорость стала v₁=v₀/2. Найдем высоту h₁, на которую поднимется тело после первого удара.

mgh₁=mv₁²/2

h₁=v₁²/2g

Значит путь между первым и вторым ударом 2h₁=v₁²/g = (v₀/2) ²/g=v₀²/4g

Аналогично поселе второго удара скорость стала v₂=v₁/2. Найдем путь 2h₂, который пройдет тело между вторым и третьим ударами.

2h₂=v₂²/g=v₁²/4g=v₀²/4²g

Продолжая дальше мы получим

2h₃=v₀²/4³g

Получаемчто полный путь, пройденнй телом

S = h+2h₁+2h₂+2h₃ + ... = h+v₀²/4g+v₀²/4²g+v₀²/4³g + ... = h + (v₀²/g) (1/4+1/4²+1/4³ + ...)

v₀²/g=2h

1/4, 1/4², 1/4³ ... убывающая геометрическая прогрессия в которой b₁=1/4 и q=1/4, ее сумма

1/4+1/4²+1/4³ + ... = (1/4) / (1-1/4) = (1/4) / (3/4) = 1/3

S=h+2h/3=5h/3