Помещенная в вакуум очень тонкая пластинка имеет форму кольца с внутренним радиусом 45 мм и внешним радиусом 133 мм по кольцу равномерно распределен заряд 615 нКл. Определить потенциал в точке, лежащей на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно ее плоскости, на расстоянии 106 мм от нее.

Выделим на диске кольцо радиусом s и шириной ds.

Площадь кольца равна 2·p i·s·ds и на нем сосредоточен заряд dq = σ·ds

Поскольку все элементы кольца находятся на одинаковом расстоянии

r=sqrt (s²+z²)

от точки наблюдения, то потенциал dφ, создаваемый кольцом в этой точке, дается формулой

dφ=dq / (4·pi·ε0·r)

dφ = σ·s·ds / (2·ε0· sqrt (s²+z²))

φ=интеграл (dφ)

φ = σ / (2·ε0) ·sqrt (s²+z²) c подстановкой для s от R1 до R2

получим

φ = σ / (2·ε0) · (sqrt (R2²+z²) - sqrt (R1²+z²))

ε0=8.85E (-12) Ф/м - диэлектрическая проницаемость вакуума

R1=0.045 м

R2=0.133 м

z=0.106 м

σ=615E (-9) / (pi· (R2²-R1²)) = 1.25E (-5) Кл/м²

Окончательно, подставив данные получим:

φ=38775 В