Составить уравнения касательных к графику кривой у²=36 х, отведенных из точки А (2,9).

Y²=36x

y=6√x

проверим не является ли точка точкой касания

6√2≠9

Пусть х0-точка касания. Точка А (2; 9) принадлежит касательной. Подставим ее координаты в уравнение касательной

y=f (x0) + f' (x0) (x-x0)

6√x0+3/√x0 * (2-x0) = 9

6x0+3 (2-x0) = 9√x0, x0≠0

6x0+6-3x0-9√x0=0

3x0-9√x0+6=0

x0-3√x0+2=0

√x0=a

a²-3a+2=0

a1+a2=3 U a1*a2=2

a1=1⇒√x0=1⇒x0=1

a2=2⇒√x0=2⇒x0=4

Через данную точку проходит 2 касательных

y1=6+3 (x-1) = 6+3x-3=3+3x

y2=12+1,5 (x-4) = 12+1,5x-6=6+1,5x

X=2+k (y-9) - уравнение прямой, проходящей через данную точку; подставим в уравнение параболы:

y^2=72+36ky-324k;

y^2-36ky + (324k-72) = 0.

Мы ищем момент, когда такая прямая коснется параболы, что означает, что две точки пересечения совпадут, а это в свою очередь означает обращение в ноль дискриминанта этого уравнения:

D/4=324k^2-324k+72=0; 18k=t;

t^2-18t+72=0;

(t-6) (t-12) = 0; t=6 или t=12; k=1/3 или k=2/3.

Осталось подставить найденные k в уравнения:

x = 2 + (1/3) (y-9); 3x=6+y-9; 3x-y+3=0 и

x = 2 + (2/3) (y-9); 3x=6+2y-18; 3x-2y+12=0

Ответ: 3x-y+3=0; 3x-2y+12=0