Доказать теорему синусов

Пусть в треугольнике ABC, сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b. Попытаемся доказать, что a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin (C). Воспользуемся теоремой о площади треугольника, и запишем её для каждой пары сторон и соответствующего им угла:S = (1/2) * a*b*sin (C), S = (1/2) * b*c*sin (A), S = (1/2) * c*a*sin (B). Так как левые части у первых двух равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2) * a*b*sin (C) = (1/2) * b*c*sin (A). Сократим это равенство на ½*b, получим:a*sin (C) = c*sin (A). По свойству пропорции получаем: a/sin (A) = c/sin (C). Так как левые части у второго и третьего равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2) * b*c*sin (C) = (1/2) * c*a*sin (B). Сократим это равенство на 1/2*c, получим: b*sin (A) = a*sin (B). По свойству пропорции получаем:a/sin (A) = b/sin (B). Объединив полученные два результата получаем: a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin (C). Что и требовалось доказать.