В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований 5 и 7, а боковое

ребро наклонено под углом 45 к основанию. Найти боковую поверхность

пирамиды.

Обозначим вершины оснований нижнего АВС, верхнего соответственно А1 В1 С1. Проведем высоты треугольников АD и A1D1. AD и A1D1 соответственно равны

5*√ (3) / 2=2,5*√ (3) и 7*√ (3) / 2=3,5*√ (3). Проведем ось симметрии (ось вращения) пирамиды О1 О. Отметим, что точки О1 и О являются центрами треугольников (центрами описанных вокруг треугольников окружностей) и находятся в точках пересечения соответствующих медиан. Поскольку медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1 (или 2/3:1/3), то A1O1=2,5*√ (3) * (2/3) = (5/3) * √ (3) = (10/6) * √ (3),

O1D1=2,5*√ (3) * (1/3) = (5/6) * √ (3), AO=5,5*√ (3) * (2/3) = (7/3) * √ (3) = (14/6) * √ (3), OD=3,5*√ (3) * (1/3) = (7/6) * √ (3).

Рассечем пирамиду вертикальной плоскостью, проходящей через A1D1 и AD. В сечении получим неравнобочную трапециюAA1D1D. AA1 - это боковое ребро пирамиды, и угол между нею и большим основанием трапеции равен 45° (это угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды). DD1 - это апофема боковой грани пирамиды. Основания трапеции - это высоты оснований, и они равны соответственно 2,5*√ (3) и 7*√ (3) / 2=3,5*√ (3). Проекция оси симметрии (отрезок О1 О) делит нашу трапецию на две прямоугольные трапеции АА1 О1 О и ОО1D1D. В трапеции АА1 О1 О из вершины А1 опусти перпендикуляр (высоту) А1 Е на основание АО. Она разобьет трапецию АА1 О1 О на прямоугольник ЕА1 О1 О и прямоугольный треугольник АА1 Е, в котором AE=AO-EO=AO-A1O1 = (14/6) * √ (3) - (10/6) * √ (3) = (4/6) * √ (3). Так как острый угол треугольника АА1 Е равен 45°, то треугольник равнобедренный и А1 Е, а значит и О1 О = (4/6) * √ (3).

В трапеции ОО1D1D из вершины D1 опусти перпендикуляр (высоту) D1F на основание ОD. Она разобьет трапецию ОО1D1D на прямоугольник ОО1D1F и прямоугольный треугольник FD1D, в котором FD=OD-OF=OD-O1D1 = (7/6) * √ (3) - (5/6) * √ (3) = (2/6) * √ (3).

По теореме Пифагора вычисляем, что D1D=√ (5/3).

Поскольку боковые грани пирамиды представляют собой трапеции с основаниями 5 и 7 и высотой (равна апофеме боковой грани, т. е D1D), то площадь одной боковой грани равна ((5+7) / 2) * √ (5/3) = 6*√ (5/3), а вся площадь боковой поверхности 3*6*√ (5/3) = 18*√ (5/3) = 6*√ (15).