Сторона правильного треугольника равна 17 корней и 3.

Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

У правильного треугольника все стороны равны и каждый из углов равен 60 градусов. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрисс. Обозначим треугольник АВС, проведём биссектриссу угла А - АЕ и биссектриссу угла В - ВД. Они пересекутся в точке О. Биссектриссы правильного треугольника являются его высотами и медианами, значит ОД - медиана и высота и треугольник АОД - прямоугольный, сторона которого АД=1/2 АС=17√3/2. Угол ОАД=60:2=30 градусов, а катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, т. е. ОД (это радиус вписанной окружности) = 1/2 АО. Обозначим ОД - Х, тогда АО=2 Х. По теореме Пифагора:

АО²=ОД²+АД² (2 Х) ²=Х² + (17√3/2) ² 4 Х²=Х²+867/4 3 Х²=867/4 Х²=289/4 Х=17/2=8,5. Значит радиус вписанной окружности = 8,5.