Углы четырехугольника, взятые последовательно, отнсятся как: 4:2:5:7. Можно ли описать окружность вокуг этого четырехугольника?

Да. Вокруг выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).

x=360 / (4+2+5+7) = 20

Первая пара: 4*20+5*20=180

Вторая: 2*20+7*20=180