Длины сторон треугольника образуют арифметическую

прогрессию. Площадь его равна площади равностороннего треугольника с тем же периметром. Найти отношение сторон данного треугольника.

"Средняя" сторона пусть равна а, меньшая а - d, большая а + d.

Правильный треугольник такого же периметра имеет все стороны а, то есть его площадь равна a^2 * √3/4. Площадь исходного треугольника равна 3/5 этой площади, то есть S = a^2*3 √3/20;

Подставляем стороны в формулу Герона

S^2 = (3*a/2) * (a/2 - d) * (a/2) * (a/2 + d) = (3*a^2/4) * (a^2/4 - d^2);

Получается соотношение

(a^2*3√3/20) ^2 = (3*a^2/4) * (a^2/4 - d^2);

a^4*27/400 = (3*a^2/4) * (a^2/4 - d^2);

a^2*9/100 = a^2/4 - d^2;

16a^2/100 = d^2;

a*2/5 = d;

Поэтому стороны равны

a*3/5; a; a*7/5; их отношение можно записать так 3:5:7;