На окружности радиуса 3 с центром в вершине равнобедренного треугольника АВС взята точка Р. Известно, что АВ=АС=5, ВС=6, а треугольники АРВ и АРС равновелики. Найдите расстояние от точки Р до прямой ВС, если известно что оно больше 6.

Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикулярным отрезком из точки к прямой.

Так как по условию известно, что искомое расстояние больше 6, ясно, что оно больше диаметра окружности с центром А.

(Центр этой окружности не может быть в точках В и С, так как тогда любое расстояние от Р до ВС не будет больше радиуса окружности.)

Пусть точка Р расположена на продолжении высоты АН треугольника ВАС.

Тогда РН = R+АН

АН из прямоугольного треугольника АНВ, где

катет ВН=3, гипотенуза АВ=5

АН=√ (АВ²-ВН²) = 4

РН=3+4=7

При этом ᐃ АРВ и ᐃ АВС равновелики по общему основанию АР и равным высотам ВН и НС соответственно (высоты тупоугольных треугольников извершины острого угла находятся вне треугольника).

Предположим, что точка Р расположена на полуокружности сбоку от продолжения АН.

Тогда Р1 Н1 также может быть больше диаметра окружности, т. е. больше 6. И основания треугольников будут равными - Р1 А для обоих треугольников будет являться общим основанием.

Но высоты ВК и СЕ этих треугольников равными не будут, потому и треугольники АРВ и АРС не могут быть равновеликими.

Следовательно, точка Р расположена на пересечении продолжения высоты треугольника ВАС с окружностью, и расстояние от Р до ВС=7.