В треугольнике ABC сторона AC=15 см. Точка касания вписанной в треугольник окружности делит сторону AB пропорционально числам 2 и 1, начиная от вершины A. Найдите стороны треугольника, если его периметр = 42 см.

пусть О - центр вписанной окружности, N - точка касания окр со стороной АС, К - точка касания окр со стор ВС, М - точка касания окружности со стороной АВ, тогда МВ = х, АМ = 2 х (2:1 от А), значит АВ = 3 х. По утверждению со стр. 167 учебника Атанасяна - отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют рвные углы с прямой проходящей через эту точку и центр окружности - АМ = АN, зн. AN = 2 х и ВК = х. Аналог. СК = СN = 15 - 2 х. (т. к. АС = 15, а АN = 2 х). Периметр будет равен АВ + ВС + АС = 3 х + (х + 15 - 2 х) + (2 х + 15 - 2 х) = 42. Решив уравнение имеем х = 6. Зн. АВ = 18 см, АС = 15 см, ВС = 9 см.