в треугольнике авс на стороне ас взята точка м, такая что ам=2/3 ас, на стороне вс - точка к, такая, что вк=1/3 вс, В каком отношении отрезок вм делит отрезок ак?

Для начала точку K я переобозначу как А1, а точку M - как B1, буквой К обозначу пересечение прямых AA1 и BB1. Такие обозначения являются общепринятыми для подобных задач. Итак, задано, что BA1/A1C = 1/2 (ну, или ВА1 = ВС/3, что то же самое), и СВ1/В1 А = 1/2 (или, то же самое, АВ1 = АС*2/3). Надо найти АК/КА1.

1. "Способ, ради которого задаются такие задачи."

Пусть С1 - точка пересечения СК и АВ. Тогда по теореме Чевы

ВА1*СВ1*АС1 / (А1 С*В1 А*С1 В) = 1; AC1/C1B = 4;

По теореме Ван-Обеля

АК/КА1 = АС1/С1 В + АВ1/В1 С = 4 + 2 = 6;

2. Способ "без сложных теорем"

Если провести B1B2 II BC; то из подобия треугольников AB1B2 и AA1C получается

В1 В2 = А1 С*2/3 = ВС*4/9;

Из подобия треугольников ВКА1 и В1 В2 К

В2 К/КА1 = В1 В2/ВА1 = (4/9) / (1/3) = 4/3;

Отсюда ВА1/КА1 = 7/3; AA1/KA1 = 7; AK/KA1 = 6