На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отмечены соответственно точки P, Q и R. Известно, что AP/PB=BQ/QC=CR/RA=4, а площадь треугольника ABC равна 25 кВ. смЧему равна площадь треугольника PQR (в кВ. см) ?

Проще всего представить треугольник АВС равнобедренным с основанием в 10 см и высотой в 5 см.

Боковые стороны равны по 5√2 см.

Тогда его площадь соответствует заданию:

S = (1/2) * 10*5 = 25 см².

Углы при основании равны 45 градусов, при вершине - 90 градусов.

По заданию АР = (4/5) * 5√2 = 4√2 см.

PB = (1/5) * 5√2 = √2 см.

BQ = AP = 4√2 см,

QC = PB = √2 см.

RC = (4/5) * 10 = 8 см,

AR = 10 - 8 = 2 см.

Теперь можно определить длины сторон искомого треугольника PQR.

PQ = √ (√2) ² + (4√2) ²) = √ (2+32) = √34 ≈ 5,83095189 см.

PR = √ (2² + (4√2) ²-2*2*4√2*cos45°) = √20 = 2√5 ≈ 4,472136 см.

RQ = √ ((√2) ²+8²-2*√2*8*cos45°) = √50 ≈ 7,0710678 см.

Теперь по формуле Герона находим площадь треугольника PQR.

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)). где р - полупериметр, р = 8,6870778 см.

Подставив данные, получаем S = 13 см ².